 “尾部形狀”

尾部形狀是一個很復雜的問題，由圖4－7a中大于45海里的偏航數據可知，這部分的數據太少，幾乎接近為0。如果按照這種數據計算，則計算出來的側向重疊概率 就會偏小，從而影響到碰撞危險次數 也會偏小，這樣對空域安全性的評估就不夠充分。為了盡量使 較準確，必須對現有的數據進行“放大”，但是又不至于太大而造成理論上過大的碰撞危險，則需要采取一個合理的方法對“尾部形狀”進行處理。

因為由圖4－7 a中可看出，隨著側向偏航誤差的增大，誤差次數的比例也在減小，但是減小的幅度卻很難確定。北大西洋規(guī)劃小組認為應對尾部同時估計一個上限曲線和一個下限曲線，然后在兩者之間插值來最終評估 。如果尾部曲線以類似負指數倍數下降，則這種誤差分布的概率密度曲線就較為樂觀，因此被定為下限。本文采用多項式函數擬合的方法（見Matlab簡介一節(jié)）對原有的數據進行了處理。如果尾部曲線呈水平形狀，則較為悲觀，因此定為上限。

插值有許多方法，現采用式（4.23）作為插值的一個基本方法。

 ＝r ＋（1－r）                      （4.23）

 

圖4－8  和 概率密度曲線

 和 概率密度曲線見圖4－8，上式中 代表側向偏航誤差大于45海里的概率密度曲線,  代表對其尾部采用的水平線代替原來的概率密度曲線，因為真正的概率密度曲線是不可能為常數的，這樣該曲線以下部分的積分面積就趨于無窮大而不為1。 代表尾部曲線沿所擬合的多項式函數下降的概率密度曲線；r為在0－1間服從均勻分布的隨機變量。

 

圖4－9  2次和4次多項式擬合函數

由圖4－9可知，圖4-8采取的3次多項式函數擬合效果最好。

多項式擬合函數的形式為 系數 在Matlab中的運行結果為：

p =1.0e+003 *[-0.0000    0.0007   -0.0854    3.4005]

可從圖4-8中讀出 在各個點的數值，因為觀測到的偏航飛機數一定為整數，因此本文對運行結果做了四舍五入的處理。擬合數據見表1：

側向偏航距離

（海里） 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95

擬合結果(架) 675 541 427 331 251 186 134 93 63 42

100 105 110 115 120

28 19 15 13 12

表1 擬合數據

根據式（4.23），依據Monte Carlo方法，對r在0－1中任意取值，可相應得到 在這幾個點處的隨機曲線：

 

圖4－10  隨機插值曲線

圖4－10為運行結果中任意4條插值曲線，運行次數可以設定為1000次或10000次。但是將這么多的曲線都代入計算 的式子進行研究是不可能的，因此需要求出隨機插值曲線中數學期望值曲線。由概率論知識將式（4.23）求其數學期望，因為 和 在每一點的值是確定的，因此變量只有r一個，且在（0，1）區(qū)間上服從均勻分布， 。

 ＝r ＋（1－r） 

      =[ - ]r+ 

E( )=[ - ]E(r)+  （4.24）

由式（4.24）得到的插值曲線見圖4－8，插值曲線的方程為：

  =                              （4.25）

假設相鄰航線上的飛機都具有相同的誤差分布，并且每架飛機偏離航線飛行的誤差都相互獨立，則兩架飛機同時偏航的聯合概率密度為：

                                          （4.26）

     圖4-11為飛機A和B 沿航線飛行時側向偏航的概率密度函數，X和Y分別表示飛機A和B偏航的距離，箭頭方向代表飛機向左或是向右偏航，設兩架飛機相距d海里。

 

圖4－11 飛機A和B的側向偏航概率密度函數